Un saxophone et une clarinette

Un saxophone octavie, une clarinette quintoie ; mais pourquoi ?

Lors d’un changement de registre, lorsqu’un musicien joue plusieurs notes différentes avec la même position, tous les instruments à vent n’ont pas le même comportement. Ainsi sait-on que le hautbois et le saxophone octavient (le deuxième registre est une octave au-dessus du premier registre) et que la clarinette quintoie (le deuxième registre est une octave + une quinte au-dessus du premier registre). Mais, diantre, pourquoi ?

Note : cet article s’intéresse aux instruments « fermés » par la bouche du musicien, il ne s’applique donc pas aux instruments de type flûte, « ouverts » des deux côtés.

Notre amie l’impédance

Un premier élément de réponse peut nous venir de l’impédance d’entrée des instruments. Nous avons déjà vu que les pics de l’impédance d’entrée renseignent sur la fréquence des notes jouables pour une position donnée. Commençons par regarder l’impédance d’entrée d’un hautbois, ici en position de Sib2 :

Impédance d'entrée d'un hautbois - note Sib2

La fréquence du premier pic de cette courbe d’impédance est de f1 = 234 Hz, très proche de la note Sib2 (233 Hz). Sans changement de registre, le musicien va donc jouer sur ce premier pic. Lors du changement de registre, le musicien va alors jouer sur le pic suivant, dont la fréquence est ici de f2 = 466 Hz. Une octave est caractérisée par un doublement de la fréquence, ainsi la fréquence de Sib3 est deux fois supérieure à celle de Sib2. C’est effectivement ce que l’on observe ici, où f2= 466 Hz= 2 x 233 Hz= 2 x f1.

Pour le saxophone, c’est exactement la même chose :

Les deux premiers pics sont aussi situés autour de 233 Hz et 466 Hz.

Observons maintenant l’impédance d’entrée d’une clarinette simplifiée (un tube cylindrique sans trou équipé d’un bec de clarinette), faite de sorte à produire la note Do#1 (70 Hz):

Impédance d'entrée d'une clarinette simplifiée - Note Do#1

Cette fois, f1= 71 Hz et f2= 213 Hz. Un quintoiement est caractérisé par un triplement de la fréquence, dans notre cas, cela ferait passer de Do#1 (70 Hz) à Sol#2 (210 Hz). C’est effectivement ce que l’on observe ici, où f2= 213 Hz = 3 x 71 Hz = 3 x f1. Ainsi, l’impédance d’entrée de ces instruments nous explique le comportement du canard et du chat (cf. Pierre et le loup, Prokofiev) lors du changement de registre. Mais cette réponse apporte une nouvelle question : pourquoi ont-ils un comportement différent ?

C’est pour la forme

Ces différences proviennent de la structure même de ces instruments : le hautbois et le saxophone sont constitués d’un tube conique, quand la clarinette est constituée d’un tube cylindrique ! La clarinette est considérée comme un tube cylindrique fermé-ouvert. Il est ouvert du côté du pavillon, et « fermé » du côté de l’anche, là où le musicien souffle. Les différentes résonances, correspondant aux différents pics de l’impédance, peuvent être représentées par leur profil de pression dans le tube.

Dans un tube, le côté « fermé » est un endroit où il y a un maximum de pression, on parle alors de ventre de pression, alors que le côté « ouvert » voit lui une pression nulle, on parle alors de nœud de pression (en réalité, on parle de la surpression par rapport à la pression atmosphérique : en sortie de l’instrument, la pression est la même que dans l’air, la surpression est donc nulle).

Si l’on représente la pression dans le tube pour sa première résonance, qui correspond donc à son premier pic d’impédance et donc à sa première note, on obtient ceci :

La pression interne d'une clarinette à son premier pic d'impédance
La pression interne d'une clarinette pour sa première résonance

La pression est nulle quand les deux courbes rouges se croisent. On a donc bien un ventre de pression là où le musicien souffle, et un nœud de pression en sortie de l’instrument.

Regardons maintenant la pression pour la deuxième résonance, qui correspond donc au premier changement de registre :

La pression interne d'une clarinette pour sa deuxième résonance
La pression interne d'une clarinette pour sa deuxième résonance

Pour la deuxième résonance, on observe deux nœuds de pression (à la sortie de l’instrument et à 1/3 de sa longueur) et deux ventres (maxima) de pression (à l’entrée de l’instrument et aux 2/3 de sa longueur).

Un tel résultat est obtenu car dans un tube cylindrique, les ondes qui se propagent peuvent être considérées comme planes : leur amplitude est constante, partout dans le tube, il n’y a pas de perte. Remarquez que dans cette configuration, la longueur d’onde du son généré est 3 fois plus courte que pour la première résonance (la distance entre l’entrée de l’instrument et le premier nœud de pression est 3 fois plus courte).

En conséquence, la fréquence du son généré est 3 fois plus élevée, en accord avec le résultat mesuré avec l’impédance d’entrée, et avec le phénomène de quintoiement observé lors du jeu ! En étendant cette observation sur les résonances suivantes, celles-ci auront alors des fréquences en rapport impair avec celle de la première résonance (f2= 3 x f1, f3= 5 x f1, etc… donc fn= (2n-1) x f1).

Dans un cône, les ondes se propagent comme dans un élément de sphère. Il faut imaginer que dans l’air, par exemple en tapant dans les mains, le son se propage à peu près comme une sphère à partir de la source (les mains).

Dans ce cas, l’énergie acoustique (et donc l’amplitude de la pression) considérée sur une surface constante diminue au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la source (l’énergie totale est considérée constante, mais comme la sphère grandit au fur et à mesure que l’on s’éloigne, l’énergie est localement plus basse).

Il se passe ainsi la même chose dans un instrument conique : plus on se rapproche du pavillon de l’instrument, plus l’amplitude de la pression est faible. La première résonance de l’instrument a ainsi un profil similaire que pour un tube cylindrique, les pertes en plus (peu visible sur l’image ci-dessous) :

La pression interne d'un hautbois pour sa première résonance
La pression interne d'un hautbois pour sa première résonance

On obtient bien, à nouveau, un ventre à l’entrée et un nœud à la sortie. L’effet de ces pertes va surtout se ressentir lorsqu’on va regarder la résonance suivante.

La pression interne d'un hautbois pour sa deuxième résonance
La pression interne d'un hautbois pour sa deuxième résonance

A nouveau, on a deux ventres et deux nœuds. Mais, du fait des pertes lors de la propagation, le deuxième ventre a une amplitude plus faible que le premier, avec pour conséquence un déplacement du premier nœud ; cette fois il n’est pas à 1/3 de la longueur de l’instrument, mais à la moitié de sa longueur.

La longueur d’onde obtenue pour la deuxième résonance est donc 2 fois plus courte que pour la première, avec pour conséquence un doublement de la fréquence; on obtient bien un saut d’octave ! En étendant aux résonances suivantes, on obtiendra maintenant tous les harmoniques de la première résonance (f2= 2 x f1, f3= 3 x f1, etc, donc fn= n x f1).

Note : considérer la clarinette comme un cylindre et le hautbois et le saxophone comme des cônes est bien entendu une simplification de la réalité (on ne prend pas en compte les embouchures, il serait impossible de souffler dans un cône complet, qui serait donc complètement fermé à une extrémité, etc.), mais cette simplification est suffisante pour rendre compte des phénomènes physiques que nous décrivons ici.

Conclusion

Maintenant, nous savons pourquoi clarinette, le saxophone et le hautbois se comportent différemment : c’est à cause de leur forme.

Ainsi, les instruments cylindriques fermé-ouvert quintoient, et les instruments coniques fermé-ouvert octavient.

Notez qu’historiquement, les instruments coniques ont été privilégiés par rapport aux instruments cylindriques, car il faut moins de trous, et donc des clétages moins complexes, pour jouer toutes les notes d’un registre avant de passer au suivant.

En effet, un registre représente une octave pour le cône et une douzième (une octave plus une quinte) pour le cylindre.

Un très grand merci à Thibaut Meurisse, ancien cobureau de Pauline pendant leurs thèses respectives à l’Ircam, pour la rédaction de cet article !

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Pauline Eveno
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Maxime Carron
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Sylvie Leys
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